Иногда в ЕГЭ могут встречаться задачи на простейшую оптимизацию. В подобных задачах может описываться процесс производства товаров или услуг и необходимо найти значения некоторых величин, дабы максимизировать прибыль или минимизировать расходы. Зависимости между этими величинами часто сводятся к линейным или простейшим нелинейным уравнениям или неравенствам. Для решения задачи требуется составить составить математическую модель, ввести независимою переменную (параметр) и выразить зависимою переменную (целевую функцию), которую нужно максимизировать или же, наоборот, минимизировать через этот параметр. После этого исследуют целевую функцию графическим или аналитическим способом. Далее находится оптимальное решение, исходя из условия задачи. Однако часть задач, можно решать, исходя из логических соображений. Приведём эти два случая.
Видеоурок
Пример №1
Пример №2
для самостоятельного решения
Задача №1
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть номера категории Б площадью 20 квадратным метров и номера категории А площадью 25 квадратных метра. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1015 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Номер категории Б будет приносить отелю 3 000 рублей в сутки, а номер категории А – 4 000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму (в рублях) сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель? Сколько номеров категории Б и сколько номеров категории А будет в таком отеле?
б) номеров категории А – 39, номеров категории Б – 2.
Задача №2
В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 21 человека. Их нужно распределить на 2 объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 5t² д. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² д. е. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько д. е. при этом распределении придётся выплатить рабочим?
Задача №3
Строительство нового завода стоит 140 млн. рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,4x²+x+5 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль (в млн. рублей) за один год составит px - (0,4x²+x+5). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 4 года?
Задача №4
Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t₀ рублей за единицу товара. После того, как государство,стремясь нарастить сумму налоговых поступлений, увеличило налог вдвое (до 2t₀ рублей за единицу товара), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после такого увеличения, чтобы добиться максимальных налоговых поступлений, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объем производства составляет 10 000 - 2t единиц и это число положительно?